通过神经网络学习的无约束、半约束和完全约束的三种数学条件下的时间积分方案可显著提高在粗网格上求解偏微分方程的准确性。
Oct, 2023
通过利用光滑粗糙路径的概念，我们引入了新的用于数值逼近签名核的算法，从而减少了分析高振荡时间序列所需的计算复杂性。
Apr, 2024
通过将时间步进方法与深度学习相结合，本研究将原始的 ill-conditioned 优化问题转化为一系列基于给定伪时间间隔的 well-conditioned 子问题，从而大幅提高了模型训练的收敛性，提供了一个稳健的基于优化的 PDE 求解器。与基于传统网格的数值方法相比，在神经网络优化方法框架下，本方法展示了时间步进方法的几个新颖特性和优势，同时显著提高了显式方案的时间步长，并且隐式方案的实现方式与显式方案一样简单。
本文综述了传统的 PDE 数值逼近方法以及近期的基于机器学习的方法，重点介绍了以神经算子为中心的关键构架，这是一种学习 PDE 解算子的新方法，与传统方法相比具有 1000 倍的计算速度优势，这些新的计算方法可以在解决许多基础和应用物理问题方面带来巨大优势。
Jan, 2023
利用物理知识驱动的深度学习方法在异质固体中解决参数化偏微分方程，它的关键是建立复杂的热导率分布、温度分布和热流分量之间的联系，通过固定边界条件，在这项工作中，我们独立于有限元方法等经典求解器，并通过基于离散弱形式的损失函数定义方法给出出色的结果，该损失函数是一个代数方程，大大提高了训练效率。通过将我们的方法与标准有限元方法进行基准测试，我们展示了使用训练有素的神经网络在温度和通量剖面方面进行准确且更快的预测，我们还展示了在未知情况下，与纯数据驱动方法相比，所提出的方法具有更高的准确性。
Jan, 2024
使用 Transformer 神经网络结构学习物理系统的动力学，混合了卷积自编码器学习的空间模式。模型在预测 Navier-Stokes 方程的时间演化方面取得了与 Fourier Neural Operator（FNO）和 OFormer、Galerkin Transformer 两种基于 Transformer 的神经算子相当或更好的结果。
Nov, 2023
该研究借鉴数值 PDE 方案收敛分析的基本思想，使用 Lasso 方法在考虑噪音、非线性和不同系数 PDE 的情况下验证和纠正数据结果，提出了一种新的算法 IDENT， 并分析数据产生和降采样、降噪、分析噪声到信号比等影响因素
Apr, 2019
本文提出了一种基于深度神经网络的多尺度时间步进方案来数值模拟非线性微分方程的系统，解决了多时间尺度模型的数值模拟问题，同时提高了模拟的准确性和计算效率。
Aug, 2020
应用偏微分方程模型到现实世界问题是科学机器学习的重要课题。本文提出一种结合基于有限体积法的离散化方案和数值线性代数技术的框架，通过实验验证在空间与时间方面的海啸模拟中该方法相比之前的基于插值法的技术有显著的性能提升。
Jun, 2024
基于 PDE 求解的方法用于解决影响时间信息的空间点的变化，从而提高点云视频的表示学习。Motion PointNet 结合了 PointNet 相似的编码器和 PDE 求解模块，在 MSRAction-3D 数据集上取得了 97.52% 的准确率。