流形密度函数：一种验证流形学习的内在方法

Feb, 2024

流形密度函数：一种验证流形学习的内在方法

The Manifold Density Function: An Intrinsic Method for the Validation of Manifold Learning

Benjamin Holmgren, Eli Quist, Jordan Schupbach, Brittany Terese Fasy, Bastian Rieck

TL;DR本研究提出了流形密度函数作为一种本质方法来验证流形学习技术。我们的方法通过改进 Ripley 的 K - 函数，在非监督设置中对流形学习算法的输出与潜在流形的结构相符程度进行分类。我们的流形密度函数适用于广泛的黎曼流形类别，并通过使用高斯 - 博内特定理将流形密度函数推广至一般的二维流形，并证明了在超平面上，该流形密度函数可使用第一个拉普拉斯特征值进行良好的近似。此外，我们证明了理想的收敛性和鲁棒性属性。

Abstract

We introduce the manifold density function, which is an intrinsic method to validate manifold learning techniques. Our approach adapts and extends Ripley's $K$-function, and categorizes in an →

manifold density function manifold learning techniques unsupervised setting latent manifold riemannian manifolds

发现论文，激发创造

测试流形假说

本论文旨在发展一种算法（并附带复杂性保证），用于适应一个未知的由可分 Hilbert 空间支持的概率分布，仅使用该分布的独立同分布样本来调整流形。

Oct, 2013

无需流行学习的流形上的学习

基于 Hypersphere 上的球面多项式，无需预处理数据即可构建一次性逼近，并给出了相对 “粗糙” 函数的最佳逼近速率。

Feb, 2024

多流形扩散场

本文提出了一种名为 Manifold Diffusion Fields（MDF）的方法来学习定义在黎曼流形上的连续函数的生成模型，该方法利用了谱几何分析的见解，在流形上定义了一种内在坐标系统，MDF 使用由多个输入输出对形成的显式参数化来表示函数，该方法允许在流形上采样连续函数，并且对于流形的刚性和等距变换是不变的，实证结果表明，与之前的方法相比，MDF 可以更好地捕捉这些函数的分布，具有更好的多样性和保真度。

May, 2023

从点云中提取多样性信息

提出一种基于核的方法，用于构建定义函数，它可以应用于从完全维数的流形到点云的任意有界光滑流形的内插和分析，通过线性组合平移核函数得到签名函数，可用于估计维数、法向量和曲率，方法以全局性、不依赖于数据集中其他结构的特点，通过一种变分形式进行正则化，克服了噪音和误差的问题。

Mar, 2024

使用自由形式流形学习流分布

我们提出了一种在 Riemannian 流形上进行分布学习的替代方法，该方法只需要一次函数评估，然后将结果投影到流形上。通过在切空间中评估的迹来估计负对数似然的梯度，我们在各种流形上评估了我们的方法，并发现相比之前的工作，推断速度显著提高且具有竞争性的性能。我们在该网址上公开了我们的代码。

Dec, 2023

流形上蒙特卡罗方法：密度采样和函数积分

针对欧几里得空间中相等和不等约束定义的流形，我们描述并分析了一些蒙特卡洛方法，其中提出了一个采用正交投影进行采样的 MCMC 采样器，来计算该流形上定义的非归一化概率分布。我们使用这个采样器来开发一个多阶段算法，并提供单次运行误差估计，以计算这种流形上的积分。计算实验表明算法和误差估计在实践中成立。该方法应用于计算不同粘性硬球体系的熵，从而预测硬粘球链环变得优于链时的温度或相互作用能量。

Feb, 2017

机器人学习在流形上的非参数回归

本研究提出了一种在机器人学习中处理非欧几里德流形数值数据的本质方法，该方法通过在流形上选择适当的概率分布，并将其参数作为预测变量的函数进行非参数化估计，同时结合核函数的局部似然方法，实现了比投影算法更好的预测准确性。

Oct, 2023

利用流形先验在模型训练中融入远程学习

本研究提出了 Distance Learner 方法，利用 “流形假设” 作为先验知识，对于 DNN-based 分类器进行训练，结果表明 Distance Learner 相比标准分类器学习到更有意义的分类边界，并且在对抗鲁棒性任务中表现出色。

Jul, 2022

流形上的簇树

本文研究在或靠近平滑 $d$ 维流形 $M$ 上的密度 $f$ 的聚类树的估计问题，通过分析最近由 Chaudhuri 和 Dasgupta 提出的基于 $k$ 近邻的算法的修改版本，得出了这个方法的收敛率只依赖于流形维度 $d$ 而不是环境维度 $D$，同时对核密度估计器也进行了类似（非算法）的分析，进一步探讨了样本复杂度下界实例的构建和已知流形情况下采用自适应算法可获得更好的收敛率。

Jul, 2013

IAN: 迭代自适应邻域用于流形学习和维度估计

本论文提出了一种基于相似性核的自适应邻域算法，可应用于非线性降维、测地线计算和维度估算，通过 Gabriel 邻域图进行迭代稀疏，并使用线性规划来全局地获得最小邻域和体积统计量以检测局外点。与基于 k 近邻的标准算法相比，实验表明这种自适应邻域算法的应用是有用的。

Aug, 2022