提出了一种可扩展的方法来开发基于现有网格数字离散化方法的无网格混合神经符号偏微分方程求解器的策略，该策略可用于高效地训练针对部分微分方程的解函数和算子的神经网络替代模型，同时保留了最先进的数字求解器的准确性和收敛性能，从而促进了可微算法用于开发混合PDE求解器的研究。

Oct, 2022

本文综述了传统的PDE数值逼近方法以及近期的基于机器学习的方法，重点介绍了以神经算子为中心的关键构架，这是一种学习PDE解算子的新方法，与传统方法相比具有1000倍的计算速度优势，这些新的计算方法可以在解决许多基础和应用物理问题方面带来巨大优势。

Jan, 2023

基于人工神经网络的无网格Schwarz型非重叠域分解方法用于解决涉及偏微分方程的正向和反向问题，通过学习Robin参数以保证相邻子域之间解的一致性，并能够适应解的局部行为和域分割。

Jul, 2023

基于图神经网络的代理模型在模拟时变偏微分方程方面具有计算效率和泛化能力，并有效替代传统的复杂求解器。

Aug, 2023

Mosaic Flow是一种新颖的域分解方法，通过推理利用在小域上预训练的网络，在大域上纯粹进行偏微分方程求解，实现高度的可重用性。本文介绍了Mosaic Flow的端到端并行化，将数据并行训练和域并行化相结合，用于大规模问题的推理。通过优化网络架构和数据并行训练，我们将学习拉普拉斯算子的训练时间显著缩短为32个GPU上的几分钟。此外，我们的分布式域分解算法使得在32个GPU上能够在域尺度大于训练域4096倍的情况下解决拉普拉斯方程，展示了较强的扩展性同时保持精度。Mosaic Flow的可重用性结合分布式内存算法所实现的性能改进，使其成为建模复杂物理现象和加速科学发现的有前景工具。

Aug, 2023

本文通过使用Schwarz交替方法将物理信息神经网络(PINNs)与传统数值模型进行耦合，探索了在非线性偏微分方程中加速神经网络训练的方法，并在一维平流-扩散方程中验证了该方法对提高PINN训练的有效性。

Nov, 2023

提出了物理感知神经隐式求解器（PANIS），这是一种新颖的数据驱动框架，用于学习参数化的偏微分方程（PDE）的代理解。它由一个概率性的学习目标组成，在此目标中，使用加权残差来探测PDE并提供源数据，而实际的PDE无需解决。与之结合的是一种物理感知隐式求解器，它由原始PDE的一个粗糙、离散化版本组成，为高维问题提供必要的信息瓶颈，并在分布不同的情况下实现泛化（例如，不同的边界条件）。演示了在随机异质材料的背景下其能力，在该背景下输入参数表示材料的微观结构。将该框架扩展到多尺度问题，并展示了可以学习到有效（均质化）解的代理且无需解决原问题。此外，还演示了如何适应和泛化几种现有的学习目标和架构，同时产生能够量化预测不确定性的概率性代理解。

May, 2024

提出了一种用于解决偏微分方程的极限学习机（ELM）方法，通过使用单隐藏层前馈神经网络预设隐藏层中的权重/偏置系数并使用线性最小二乘方法来训练神经网络的输出层参数，提高了ELM的训练速度。同时，引入非重叠域分解方法（DDM），结合本地神经网络和辅助变量，在大规模系统中实现高逼近质量。实验结果验证了该方法在加速性能方面的有效性。

Jun, 2024

该研究解决了传统求解线性偏微分方程（PDE）方法效率低下的问题，同时缺乏数据驱动方法的数学收敛性保证。提出的UGrid求解器通过整合U-Net和多重网格方法，提供了收敛性和正确性的数学证明，并具备高数值精度和对多种输入几何形状和PDE形式的强泛化能力。此外，引入的新残差损失指标允许无监督训练，从而提高了稳定性和更大的解空间。

Aug, 2024

本研究解决了传统方法在边值问题求解中的缩放性和收敛性不足的挑战，提出了一种增强的双层深度领域分解方法（Deep-DDM），结合了粗层网络。通过在狄利克雷边界条件下对泊松方程的测试，结果表明该方法在处理复杂偏微分方程时表现出更高的效率和收敛性。

Aug, 2024