通过允许终端分布与 μ_T 不同，但惩罚两个分布之间的 Kullback-Leibler 散度，我们提出了一种软约束的 Schrödinger bridge（SSB）的最优控制方法，并且从理论上推导了其解决方案，表明最优控制过程的终端分布是 μ_T 和其他分布的几何混合，该结果进一步应用于时间序列设置，并提出了鲁棒性生成扩散模型的应用。我们提出了一种基于评分匹配的算法，用于从几何混合中进行采样，并通过对 MNIST 数据集的数值实例展示其用途。

Mar, 2024

对于给定的初始状态密度，施加控制扩散和截止约束的随机最优控制问题，通过固定点递归迭代数值求解 Schr"{o} dinger 桥问题，在经典和线性系统设置下广泛应用。本研究对与 Schr"{o} dinger 系统的收敛相关的收缩系数提供了新的几何和控制理论解释，基于这些解释，指出通过对端点支持集进行预处理可以改进线性 SBPs 的最坏收缩系数的计算。

Sep, 2023

通过使用 Kolmogorov 偏微分方程和近端算法，研究非线性动力学中的 Schr"{o} dinger 桥问题，并提供了数值例子。

Dec, 2019

本文从随机控制角度重新审视了最优传输问题与 Schrödinger 桥问题之间的关系，并提出了一些新的发现和解法，特别是我们提出并解决了带先验的流体动力学版本的最优传输问题。

Dec, 2014

该论文利用了 Schr"odinger 桥问题和熵惩罚的最优输运之间的等价性，以寻找一种与最优输运相似的新的方法来探究二者间的对偶性。该方法提供了一些先验估计并且在正则化参数趋于零的极限情况下一致。该方法还适用于多个数据边缘的情况，证明了 Sinkhorn 算法的新的收敛性质。

Nov, 2019

通过将得分匹配技术与运算学习相结合，我们提出了解决无限维桥问题的方案，使得无限维桥的得分匹配可以以直接的方式进行。我们的方法在一系列实验中展现了高效性，尤其因其能够适应任何分辨率而无需额外的训练。

May, 2024

通过将高斯噪声逐渐应用于复杂的数据分布，构建了一个确定性的生成模型，对应于具有时间不均匀漂移的倒退随机微分方程，用基于分数匹配的方法估计漂移。本文提出了 Diffusion SB 方法来处理 Schrödinger Bridge 问题，近似了迭代比例拟合过程，DSB 具有广泛的适用性，是流形上 Sinkhorn 算法的连续状态空间概率化推广。

Jun, 2021

该研究提出一种新的神经参数化方法：非平衡扩散 Schrödinger Bridge（DSBs）。该方法可以模拟当端点是概率分布，且质量未被守恒时，人口的时间演化，并可应用于分析癌症药物的单细胞响应和病毒变异的传播过程。

Jun, 2023

本文介绍了基于去噪扩散模型的生成模型，提出了基于 Schrödinger bridge 的生成建模方法来缩短生成时间，并将其扩展到条件模拟中，用于各种应用，包括图像超分辨率、状态空间模型的最优滤波和预训练网络的优化。

Feb, 2022

在计算薛定谔桥（SB）领域中，通过参数化薛定谔势能和将对数薛定谔势能视为能量函数的智能组合，我们提出了一种新颖的快速简洁的 SB 求解器，该求解器是一个轻量级、无需模拟且理论验证的求解器，适用于中等维度的 SB 问题。

Oct, 2023