提出了一个深度神经网络的新架构，可以准确解决分数阶微分方程。使用高斯积分规则和 L1 离散技术。通过研究分数阶普通微分方程、分数阶积分微分方程和分数阶偏微分方程，结果表明该提出的架构以出色的精度解决不同形式的分数阶微分方程。

Sep, 2023

本文提出了神经分数阶微分方程（Neural FDE），一个新颖的深度神经网络结构，通过调整微分方程来适应数据的动态，从而在具有记忆或依赖于过去状态的系统建模中可能优于神经常微分方程（Neural ODE），并且可以有效地应用于学习更复杂的动力系统。

Mar, 2024

本文介绍了基于 Integro-Differential Equations（IDEs）理论的一种新型深度学习框架：Neural IDE（NIDE），采用神经网络学习积分算子，可对复杂的非局部动态系统进行建模，并应用于多个玩具和大脑活动数据集，验证了其优于其他模型的性能，并可将动态系统分解为马尔可夫和非马尔可夫构成部分。

Jun, 2022

介绍了 SciML 软件生态系统作为混合物理定律和科学模型的信息和数据驱动机器学习方法的工具，描述了一种数学对象 —— 通用微分方程（UDEs），作为连接生态系统的统一框架，并展示了这些工具的通用性。

Jan, 2020

本文研究了使用 Physiscs-informed Machine Learning 方法识别常微分方程，通过两个案例研究，发现了结合数据驱动方法和数值求解器时产生的一些问题，以及数据收集过程的重要性。

Jun, 2023

通过结合神经算子、物理约束的机器学习和常规数值方法，我们提出了一种解决偏微分方程的方法，该方法在单一框架内扩展了前述方法并将其统一起来，使得我们能够以无数据的方式对参数化的偏微分方程进行求解，并提供准确的灵敏度，即解空间对设计空间的导数。这种能力使得我们能够进行基于梯度的优化，而无需进行典型的敏感性分析成本，从而避免了与响应函数数量直接成比例的伴随方法的规模问题。

Jul, 2024

科学机器学习是一类新的方法，它将物理知识和机械模型与数据驱动技术相结合，以揭示复杂过程的控制方程。本文提供了不确定性量化 (UQ) 的 UDE 的形式化，并研究了重要的频率派和贝叶斯方法。通过分析三个不同复杂度的合成示例，本文评估了集成、变分推断和马尔可夫链蒙特卡洛采样作为 UDE 的认识论不确定性量化方法的有效性和效率。

Jun, 2024

本研究通过严格的调查研究了图神经分数阶微分方程（FDE）模型的鲁棒性，发现其比整数阶图神经 ODE 模型具有更强的鲁棒性，并在敌对条件下表现出潜力应用。

Jan, 2024

介绍了一种新的框架 ——“定制 ODE 求解器”，用于构建针对预训练流模型的自定义 ODE 求解器，优化了顺序一致和参数高效的求解器，并在逼近质量和生成质量方面与专用求解器相比显著提高。

Oct, 2023

OptPDE 是一种机器学习方法，通过优化偏微分方程 (PDE) 的系数以最大化其守恒量数量 n_CQ，从而发现新的可积系统，并发现了四个可积 PDE 族群，其中一个已知，三个是文献中新的具有至少一个守恒量的可积 PDE。我们深入研究了其中一个新的 PDE 族群的特性，即 $u_t = (u_x+a^2u_{xxx})^3$，这一研究为 AI 与人类合作推动可积系统的发现提供了有前景的框架：机器学习为可能的可积系统生成可解释的假设，而人类科学家则对其进行验证和分析，从而真正闭合发现的循环。

May, 2024