Nov, 2016

s - 距离集合和等角线的上界

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TL;DR利用 zonal spherical functions 方法对紧致二点齐次空间中 s-distance set 的大小进行了限制。通过此方法我们证明了在 R^n 中 (当 n≥7 时), 球面二距离集的最大大小为 (n (n+1))/2 (对于一些 n=(2k+1)^2-3，其中 k∈N，可能存在例外)。我们还证明了呈现此新上限的所有 equiangular set，并利用其证明了所有维度中 equiangular set 大小的新上限。
distance setsspherical setszonal spherical functionsequiangular setsupper bound
发现论文，激发创造
  • 固定角度的等角线

    通过基于图形表示的数学优化模型及相关理论如：角度、谱图理论及各自的度量指标，解决了一个长期存在的关于等角线问题，并给出了其中包含的新结果。

    Jul, 2019

  • 可度量的 d 维流形上的极小 Riesz 能点配置

    研究了欧氏空间中稠密集合 A 的最优（或近似最优）N 点配置在所有 N 点子集上最小化 Riesz s 能量（对应于势 1/t^s）的渐近行为，其中 s>0。 对于具有有限正的 d 维 Hausdorff 度量的大类流形 A，当 s>d 或 s = d 时，我们证明了这样的最小化配置在渐近极限分布中与 d 维 Hausdorff 度量相等（随着 s 固定），当 s=d 时，我们得到了最小能量中主导项的显式公式。 即使对于 d 维球体的情况，我们的结果仍然是新颖的。

    Nov, 2003

  • 不同维度正定矩阵间的几何距离

    本文通过在正定对称矩阵或厄米正定矩阵的构成的空间中定义 Riemannian 距离，实现了计算矩阵间几何距离的任务，同时也介绍了如何利用这种方法计算不同维度之间的矩阵之间的距离。

    Jun, 2018

  • 球面上随机点集 —— 孔径、覆盖和分离

    该论文主要探讨了分布在单位球上的 $N$ 个随机点的几何性质，其中涉及了球面上的凸包，球冠的半径以及与之相关的渐进分布和期望值等问题，并提出了若干相关猜想。

    Dec, 2015

  • 封闭流形上第 k 近邻距离的可扩展性普适性

    本文研究了平面和曲面上的最近邻距离，发现对于平面上的情况，最近邻距离的依赖于 k 和 N 是分离的；对于曲面的情况，平均最近邻距离是拓扑不变量，且与曲面的具体形状无关，文中也研究了高维情况，并使用 Regge calculus 进行了解释。

    Feb, 1998

  • 球形上随机堆积中角度的分布

    研究在高维空间中，随着数据元素数量不断增加，单位向量之间角度的极限分布，该研究对高维空间向量的统计学和机器学习应用有指导意义。

    Jun, 2013

  • 球形切片 - 瓦热斯坦

    本文介绍了一种新的基于球面的 Sliced-Wasserstein 距离测度方法，该方法基于对圆上 Wasserstein 距离的封闭解和球面 Radon 变换的新构建，从而使得 SW 的差异测量得以扩展至流形，同时该方法的高效实现有助于在球面数据表示的机器学习应用中实现样本采样、密度估计和超球自编码器等。

    Jun, 2022

  • 球码的球填充界限

    该论文通过简单的几何论证改进了 Kabatiansky 和 Levenshtein 于 1978 年提出的上界，同时将其扩展到超空间包装，提高了先前已知界限。此外，还证明了 Cohn-Elkies 线性规划边界总是至少与 Kabatiansky-Levenshtein 边界相同。最后，该论文还能够在超空间上发展线性规划边界并证明 Rodemich 定理的类比。

    Dec, 2012

  • 渐进最优覆盖半径的流形上的点

    研究表明，欧几里得球上点集的积分误差可作为点集覆盖半径的上界，基于这一结论，拟随机蒙特卡罗积分点可实现渐近最优覆盖半径，并将这些结果推广到紧致流形上，通过 Grassmannian 流形的数值实验验证了结论。

    Jul, 2016

  • Jaccard 空间的度量维数与可分辨性

    该研究论文主要探讨 Jaccard 空间的可分解性，使用概率和线性代数方法构建了在该空间中具有高概率但几乎优化（即最小大小）的可分解集合，且该空间的度量维度为 θ(|X|/ln|X|)。

    May, 2024