本研究探讨了代价 (m 矩阵 squared distance) 为方便起见的 Riemann 流形上的最优传输映射的规律性以及对非平面 Riemann 流形的全局规律性结果，其具有一些适用性于统计和统计力学上的重要潜在应用。

Jun, 2010

本文研究了在球面上的两个最优输运问题，证明了成本切面曲率是一致正的，并建立了几何性质，证明了全局平滑解是存在的，最优映射在数据的弱假设下是 Hölder 连续的。

Jan, 2013

我们计算了具有形式 u (x^ty) 的成本函数的 R^n 上最优输运问题的 MTW 张量（或交叉曲率），其中 u 是具有逆 s 的标量函数，x^ty 是属于 R^n 的开子集上的向量 x、y 的非退化双线性配对。MTW 张量在 Kim-McCann 度量下在零向量上消失的条件是一个四阶非线性 ODE，可以简化为具有常系数 P 和 S 的线性 ODE 形式 s''−Ss'+Ps=0。所得到的逆函数包括 Lambert 函数和广义的逆双曲 / 三角函数。平方欧几里得度量和对数型成本是这些解的实例。该族的最优映射也是明确的。对于超球面和双曲空间的类似形式的成本函数，我们还使用 Gauss-Codazzi 方程将该张量表达为关于 s 的导数的代数表达式，得到这些流形上严格正则成本的新族，包括新的幂函数成本族。我们分析了 sinh 型双曲成本，提供了 c - 凸函数和离散度的示例。

Jan, 2024

该研究定义了度量空间中 Markov 链的 Ricci 曲率，并将其与概率空间的 Wasserstein 运输距离联系起来，证明正 Ricci 曲率意味着具有谱间隔、Gaussian 集中定理和某种修改后的对数 Sobolev 不等式。

Jan, 2007

本文证明了，当底层流形为球面且代价函数为距离的平方时，梯度映射的 Jacobian 行列式对于势函数的凸组合是对数凹的。这里使用了 Kim 和 McCann 以及 Figalli 和 Rifford 最近证明的球的非负横曲率特性，并以统计学为应用定义了一种新的概率密度函数族。

Jun, 2009

定义了一个带有非负 N-Ricci 曲率（其中 N 为有限整数）或无穷小于 K 的 Ricci 曲率下界（其中 K 为实数）的测量长度空间 X 的概念，其定义依赖于与概率测度的 Wasserstein 空间 P_2（X）上的某些函数的位移凸性。我们证明了这些性质在测量 Gromov-Hausdorff 极限下保持不变，并给出了几何和分析方面的结果。

Dec, 2004

通过在具有截断度量的流形上进行优化，我们得到了函数的最优解，并通过构造适当的回缩映射将途经的递近测地线拉回到流形上，从而有效地沿着近似的测地线进行优化。

Aug, 2023

本研究针对非紧致流形，展示了如何获得用于紧致流形上展示 Monge 传输问题的结果，其中成本来自于 Tonelli Lagrangians。 特别地，已知类型为 d^r（r> 1）的成本的结果，在没有任何曲率限制的情况下成立，其中 r 是完全 Riemannian 流形的 Riemannian 距离。

Nov, 2007

本文通过引入自然定义的随机游走的多边际最优输运问题，为超图引入了曲率的新定义，这种曲率被称为粗标量曲率，它是 Ollivier（2009）在度量空间上 Markov 链的 Ricci 曲率的最近定义的一般化，并且在超图是从 Riemannian 流形自然产生的情况下与标量曲率相关。通过实验结果表明，粗标量曲率能够检测超图中跨连接组件的 “桥梁”，因此它是一个适当的简单图曲率的概括。

Mar, 2018

本研究借鉴正则化理论，提出算法，利用二阶 Wasserstein 距离和 Lipschitz 性质，通过解决优化问题来得到光滑的 Brenier 凸函数，实现了快速而准确的图像传输。

May, 2019