具有零和非负 MTW 张量的最优输运中的费用族

Jan, 2024

具有零和非负 MTW 张量的最优输运中的费用族

Families of costs with zero and nonnegative MTW tensor in optimal transport

Du Nguyen

TL;DR我们计算了具有形式 u (x^ty) 的成本函数的 R^n 上最优输运问题的 MTW 张量（或交叉曲率），其中 u 是具有逆 s 的标量函数，x^ty 是属于 R^n 的开子集上的向量 x、y 的非退化双线性配对。MTW 张量在 Kim-McCann 度量下在零向量上消失的条件是一个四阶非线性 ODE，可以简化为具有常系数 P 和 S 的线性 ODE 形式 s''−Ss'+Ps=0。所得到的逆函数包括 Lambert 函数和广义的逆双曲 / 三角函数。平方欧几里得度量和对数型成本是这些解的实例。该族的最优映射也是明确的。对于超球面和双曲空间的类似形式的成本函数，我们还使用 Gauss-Codazzi 方程将该张量表达为关于 s 的导数的代数表达式，得到这些流形上严格正则成本的新族，包括新的幂函数成本族。我们分析了 sinh 型双曲成本，提供了 c - 凸函数和离散度的示例。

Abstract

We compute explicitly the mtw tensor (or cross curvature) for the optimal transport problem on $\mathbb{R}^n$ with a cost function of form $\mathsf{c}(x, y) = \mathsf{u}(x^{\mathfrak{t}}y)$, where $\mathsf{u}$ is

mtw tensor optimal transport problem cost function lambert function power function costs

发现论文，激发创造

关于黎曼浸没和黎曼积的最优映射平滑性（特别地，是圆球的）

该论文研究了优化传输映射正则性的关键条件 A3w。通过运输成本产生的伪 - 黎曼曲率 - 我们称之为交叉曲率 - 的非负性，暗示了 Ma、Trudinger 和 Wang 的 A3w。得出了满足交叉曲率非负性的一大类 Riemann 流形。这些流形缺少已知的所有妨碍最优映射正则性的障碍，因此自然而然地可以推测正则性成立。这个猜想已经在复投射空间 CP ^ n 中得到证实。

Jun, 2008

球面上最优映射的正则性：二次代价与反射天线

本文研究了在球面上的两个最优输运问题，证明了成本切面曲率是一致正的，并建立了几何性质，证明了全局平滑解是存在的，最优映射在数据的弱假设下是 Hölder 连续的。

Jan, 2013

多个球面积的最优输运映射的规律性

本研究探讨了代价 (m 矩阵 squared distance) 为方便起见的 Riemann 流形上的最优传输映射的规律性以及对非平面 Riemann 流形的全局规律性结果，其具有一些适用性于统计和统计力学上的重要潜在应用。

Jun, 2010

结构化空间之间的变换与成本正则化最优传输

在这项工作中，我们利用了 Gromow-Wasserstein 和成本正则化的最小化线性最优传输目标之间的并行性质，参数化一种地面成本函数来匹配两个不同的欧氏空间中的测度，通过在转换后的源点和目标点之间计算成本。我们提供了一种近似算法，从不对齐的数据中提取这样的转换，并证明其适用于单细胞空间转录组学 / 多组学匹配任务。

Nov, 2023

非紧流形上的最优输运

本研究针对非紧致流形，展示了如何获得用于紧致流形上展示 Monge 传输问题的结果，其中成本来自于 Tonelli Lagrangians。特别地，已知类型为 d^r（r> 1）的成本的结果，在没有任何曲率限制的情况下成立，其中 r 是完全 Riemannian 流形的 Riemannian 距离。

Nov, 2007

圆上 Monge 成本的快速运输优化

研究采用局部优化运输计划的理论进行解决图像处理的问题。得到所有局部最优输运计划都与移动呈共轭关系的结论，并验证了局部最优输运计划的费用是以移动参数的凸函数。提出了一种算法可以近似优化费用，当所有质量是 1/M 的整数倍时，该算法可以在 O (NlogM) 操作中实现准确解决方案。

Feb, 2009

Wasserstein 度量的指数公式

本研究通过开发一类具有更好凸性质的运输度量学来解决 Wasserstein 梯度流研究中的凸性缺乏问题，并使用这些度量学证明了描述 Wasserstein 离散梯度流的 Euler-Lagrange 方程。随后，我们运用这些结果来证明了 Wasserstein 度量的指数公式，并使用该方法简单证明了梯度流的多种属性，包括收缩半群特性和能量耗散不等式。

Oct, 2013

欧几里得函数优化中的扭曲几何信息

通过在具有截断度量的流形上进行优化，我们得到了函数的最优解，并通过构造适当的回缩映射将途经的递近测地线拉回到流形上，从而有效地沿着近似的测地线进行优化。

Aug, 2023

具有通用代价函数的神经最优输运

本文介绍了一种基于神经网络的新算法，用于计算一般的成本功能的最优输运方案和映射，该算法通过鞍点重构最优输运问题并推广到先前在弱和强输运成本功能中的方法，最终构建了一个可保存数据类别结构的数据分布映射功能。

May, 2022

基于蒙特序列的结构性位移学习成本

本文提出了一种基于推向前映射和学习适当代价结构的方法，通过使用 Monge-Bregman-Occam 管线，使用 $h$- 变换和 $h$- 凹潜力生成适应结构化代价的基本真实传输，并提出一种学习低维空间中传输位移的正则化方法，通过 Riemannian 梯度下降对 Stiefel 流形进行基础变化，从而得到更加稳健和易于解释的估计量。

Jun, 2023