本研究介绍了一种新颖的分层预测 - 校正方案，使神经网络能够学习理解和控制复杂的非线性物理系统，在涉及偏微分方程的任务中成功地开发了对这些系统的理解，并学会了控制它们。

Jan, 2020

本文提出了一种新颖的框架，引入了 PDE 解算子的代理模型，并结合特殊正则化技术解决 PDE 约束下的最优控制问题，该框架可以应用于数据驱动和无数据情况下的最优控制问题，并成功地将其应用于不同的最优控制问题。

Nov, 2021

本文介绍了使用深度学习发现复杂数据集中隐藏的偏微分方程 (包括线性和非线性方程)。通过使用测量数据进行必要的输入数据转换来实现发现过程中的坐标转换。同时，展示了用于选择特征和模型的技巧。通过本文的分析，可以发现非线性二阶偏微分方程的动力学可以由我们的深度学习算法自动准确地描述为普通微分方程。在研究更复杂的模拟时，也可以得到类似的结果。

Aug, 2018

该论文通过偏微分方程的理论框架，提出了三种新型的 ResNet 神经网络架构，分别属于抛物线和双曲线类型的 CNN，能够提供深度学习的新算法和思路，并用数值实验证明了它们的竞争力。

Apr, 2018

我们提出了一种基于有限维控制的方法来近似解决高维演化型偏微分方程的解算符。通过使用通用的降阶模型，例如深度神经网络，我们将模型参数的演化与相应函数空间中的轨迹连接起来。利用神经常微分方程的计算技术，我们学习参数空间上的控制，从而使受控轨迹与 PDE 的解非常接近。对于一类二阶非线性 PDE，我们验证了近似精确度。对几个高维 PDE，包括解决 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程的真实应用，我们展示了所提方法的准确性和效率。

Jan, 2024

OptPDE 是一种机器学习方法，通过优化偏微分方程 (PDE) 的系数以最大化其守恒量数量 n_CQ，从而发现新的可积系统，并发现了四个可积 PDE 族群，其中一个已知，三个是文献中新的具有至少一个守恒量的可积 PDE。我们深入研究了其中一个新的 PDE 族群的特性，即 $u_t = (u_x+a^2u_{xxx})^3$，这一研究为 AI 与人类合作推动可积系统的发现提供了有前景的框架：机器学习为可能的可积系统生成可解释的假设，而人类科学家则对其进行验证和分析，从而真正闭合发现的循环。

May, 2024

本文介绍了一种结合了物理与机器学习的新兴领域：PDE 学习。我们提出了一种理论上保证数据效率的算法，可以从有限的输入输出数据中恢复 3D 椭圆型偏微分方程的解算子，并以极高的成功概率呈指数收敛率。

Feb, 2023

通过使用神经网络逼近未知解的梯度来解决高维偏微分方程，该算法在包括非线性 Black-Scholes 方程、Hamilton-Jacobi-Bellman 方程和 Allen-Cahn 方程等方程上均取得了精确和低误差的结果。

Jul, 2017

通过字典学习和可微分 L0 正则化，我们提出了一种稀疏、稳健且可解释的参数化偏微分方程控制策略，优于基线的深度神经网络驱动强化学习策略，并能够推导出解释性的优化控制规律的方程，并在参数化 Kuramoto-Sivashinsky 和对流扩散反应偏微分方程的控制任务中展示了泛化能力。

Mar, 2024

该研究探讨了利用 Monte Carlo 方法和深度学习解决高维偏微分方程（PDE）的有效算法，并提供了一些新方法，这些方法在利用梯度优化方法最小化相应损失时具有低差异性，并提高了所提到的现有深度学习方法的性能。

Jun, 2022